Веќе 80 години математичарите и статистичарите неуспешно се бореа со една едноставна игра. Во два плика се спакувани различни суми пари. Играчот знае само дека едната сума е два пати поголема од другата. Тој има право да го отвори едниот плик и да одлучи дали да го земе него или другиот.
Двајца австралиски научници понудија оригинално решение на задачата. Неочекувано таа може да предложи интересни начини за увид во теоретските и применети проблеми – во термодинамиката и оптимизација на технички системи за подобрување на електронските кола и дури за развој на стратегија за сигурни добивки на берзите.
Задачата е позната во различни варијанти од 1930 г ., но верзијата со двата коверти е опишана само на крајот на 80-тите години.
Еве ја играта. Ви нудат два коверта со пари. Логично, немате право да ги споредите, замените и да се обидете да ѕирнете на светлина. Знаете само дека во едниот од нив има износ двојно поголем отколку во другиот, но во кој и какви се сумите – немате никаква идеја. Можете да го отворите едниот плик и да ги погледнете парите. И одлучувате – овој или другиот. Но потоа не може да направите промена. Прашањето е што да се направи, за да победи (т.е. да добие поголемиот износ)? На прв поглед шансата е 50 на 50. Но, се покажа дека не е така. И тука се меша пресметката на просечно очекуваната вредност на вториот плик.
Да речеме дека сте го отвориле едниот плик и сте виделе 10 долари. Во другиот би требало да има или 5, или 20 долари, а секоја од двете можности има 50-процентна тежина. Теоретски веројатната сума во затворениот коверт е: 0,5 x 5 + 0,5 х 20 = 12,5. Се разбира, во внатрешноста има или 20, или 5 долари. Но 12,5 е просечната сума на профит, ако секогаш ги замените ковертите – ако одиграте доволно долга серија на обложување. Против овој заклучок, се разбира, се крева интуицијата, која едноставно вели дека ковертите во принцип се еднакви. И со нивната размена сите тенки сметки опишани тука, треба да почнат одново.
Многу научници се обидувале да го решат парадоксот, некои дури сметале дека успеале. Но досега понудените решенија не беа прифатени од математичката заедница. Последното навистина свежо решение е предложено од страна на Марк Мекдоналд од Универзитетот на Јужна Австралија и Дерек Абот од Универзитетот во Аделаида. Иако не изградиле сеопфатна теорија за парадоксот, тие сметаат дека откриле каде е принципиелната грешка на нивните претходници. Абот признава дека првото навестување за пат кон одлуката го добил од професот од Стенфорд, признат специјалист за статистика и теорија на информации . Во 2003 година Абот работи во својата родна Британија. И на еден ручек со професорот последниот нуди оригинална стратегија за профит, која била поефикасна од правилото „секогаш менувајте го пликот”.
Новиот метод дејствува така. Замена треба да се прави … или да не се прави. Одлуката за неа се зема по случаен избор, но со помош на веројатноста зависна од она што го видовте во отворениот плик. Односно, колку помала е сумата во плик А , толку подобро е да ги смените пликовите, а некој попристоен износ треба да ве тера да го зачувате. Тогаш, пред седум години, Абот одлучил дека оваа идеја е невозможна и воопшто се откажал да ја разгледува. Но, по некое време успеал да види во длабока филозофска, па дури и физичка смисла. Очигледниот парадокс произлегува, бидејќи не можеме да го отфрлиме од чувството дека отворањето на ковертот и следењето на 10 долари не даваат никакви информации. Но, Абот го објаснува случајот од гледна точка на кршењето на симетријата. Пред отворањето на ковертите ситуацијата е симетрична, затоа не е важно дали потоа правите замена или не. Но по отворањето на едниот вие ја кршите симетријата, двата плика веќе не се исти, а промената на ковертите ви дава можност за профит на долг рок. Веќе над 20 милиони компјутерски симулации покажаа дека оваа стратегија е решение на загатката. Друга победничка стратегија е да си замислите сума, да ја споредувате со она што го видовте во отворениот плик и да ја земете или замените на оваа база. И тоа е точно толку антиинтуитивно како и задолжителната промена. Бидејќи влогот го става играчот, а не „банката”.
Генералното објаснување на парадоксот со пликови помага во разјаснувањето и на други математички загатки, како на пример Парадоксот на Парондо. Тој се формулира на следниот начин. Ако се земат кои и да се две игри на среќа, во секоја од кои веројатноста за загуба е поголема од онаа за победа, може да се изгради победничка стратегија, доколку игрите се играат по ред. Да претпоставиме дека имате некој почетен капитал . Понатаму постепено кон него се додава или одзема 1 долар, во зависност од нешто слично на глава или опашка. Монетата, со која ја игра сепак, не е „фер”, односно веројатноста за паѓање на секоја од страните не е 50%. И така, во играта со капиталот имате не една, туку две игри – А и В, при што во играта А се користи монета 1 со веројатност да заработите од 0,5-e каде што „е” е малку повеќе од нула. Природно, при голем број на фрлања во играта тип А ние секогаш сме губитници. Во играта B уживаат две (исто несиметрични) монети (2 и 3), суштинско се разликуваат една од друга по веројатноста да ни донесат профит: пример (1/10 ) -Па и (3/4) -Па. Освен тоа се постигнува смислено однапред случајно вклучувајќи М. И правилото е: ако сегашниот капитал е множители ( се дели) на М – во соодветниот круг фрламе паричка 2, ако не се множители – монета 3. Дерек Абот успева да докаже дека играта В е губитничка. Но, парадоксот е дека алтернацијата на игрите може да доведе до раст на капиталот! Ова, се разбира, не станува со еднолична алтернација. Само некои комбинации го постигнуваат пример ABBABB итн всушност нема никаков парадокс, а илузија за таква.
Научниците докажаа дека станува збор само за комплексна серија на веројатности. Важно е да се запамети дека при комбинацијата на двете игри, тие стануваат меѓусебни и односот меѓу нив „случајно” го вклучува М. Со неговото воведување потегот на игра А станува зависен од оној на игра В. Ако немаше таква врска, било која комбинација од двете игри би била губитничка. И одовде се пролева зрак светлина врз задачата со пликови . Воведувањето на М и врзувањето на изборот на проблемот со капиталот (кој е единствен и се зголемува и намалува и во двете игри) влијае врз веројатноста за распределба на сите одделни „делења” до состојба во која се појавува позитивно очекување, можност за профит.
Време е во оваа се уште матна призма да погледнеме кон третата аналогија што ја опишуваат Абот и Мекдоналд – финансиските трансакции. Полнењето на нестабилност (Volatility pumping) е поедноставен модел, што се насочува кон некои корисни стратегии за игра на берзата.
Јасно е дека ако играчот има информации за финансиските инструменти со кои игра (состојба на фирмата, тужби против менаџерите, нејзините сведоштва за соодветен гроздобер или успех во побарувачката на нафта), тој може рационално и свесно да составува паричник. Но ако нема никаква информација освен сегашната цена (на акциите или стоките) и нејзината насока? Ако не знае дали уште ќе паѓа? А дали оваа цена не е максимална, минимална или пак доаѓа грандиозен пад? Ви личи ли на задачата со пликови? Гледате една вредност – другата е или поголема, или помала. Пумпите на нестабилност претпоставуваат хаотично купување и продажба на средства со ограничен период меѓу трансакции (купувате поевтино – брзо, продавате побрзо), без да се грижите дали сте постигнале максимална корист или не. Што пак личи на стратегијата за задолжителната промена со познат фактор на зависност од набљудуваната сума (стратегијата на кориците).
Абот и Мекдоналд се зачудени од сопствените резултати – анализите им покажуваат дека со стратегијата на кориците секогаш може да се зголеми добиениот капитал во игра со пликови, без разлика дали знаеш нешто за опсегот на сумите или обложувањето во коверти. Научниците повторуваат дека во случајот нивната единствена заслуга не е одгатнувањето на парадоксите, туку разоткривањето како такви. Имено, објективните методи можат да дадат резултати, апсолутно некомпатибилни со очекуваните. Но затоа пак ефикасни – под услов да ја увезете потребната доза асиметрија на веројатностите.
Можеби треба да се истакне дека некои од вицовите за поправка на автомобили од вработените на Microsoft (со отворање и затворање на вратите) веројатно имаат смисла во таква ситуација. Доволно е да се натрупаат услови под кои дури додавањето на дваесет капки маслиново масло ја зголемува веројатноста од корисен излез – едноставно затоа што влијаете на системот. А тоа речиси се допира до филозофските и теолошки теми – како оваа за слободната волја, на пример. И запомнете: нема никаков парадокс.
